Mekanika Relativistik

Posted: 18 Juni 2011 in Uncategorized

Mekanika Relativistik
Telah dipelajari sebelumnya bahwa ketika kita berurusan dengan kecepatan yang sangat tinggi, transformasi Galileo (fisika klasik) harus diubah dengan transformasi Lorentz (fisika relativistik). Perubahan ini juga harus diterapkan pada berbagai rumus fisika lain seperti rumus gaya, momentum dan energi.
Dalam fisika klasik, momentum didefinisikan sebagai suatu partikel bermassa mo yang bergerak dengan kecepatan v sebagai mov. Jika definisi ini digunakan pada proses tumbukan relativistik (tumbukan dengan kecepatan sangat tinggi), ternyata momentum menjadi tidak kekal. Padahal menurut Einstein, semua hukum Fisika (termasuk hukum kekekalan momentum) selalu sama pada semua kerangka inersia.
Momentum merupakan kesanggupan untuk memindahkan/menggerakkan.
Dalam mekanika Newtonian (mekanika klasik), jika v <<< c dan apabila Σ Fluar pada sistem adalah nol (Σ Fluar = 0), maka berlaku hukum kekekalan momentum (linier). Artinya, jumlah momentum sebelum tumbukan sama dengan jumlah momentum setelah tumbukan.
p1 = p2
m1v1 + m2v2 = (m1v1)’ + (m2v2)’
p2 – p1 = 0
Δp = 0
dp/dt = 0
Apakah hukum kekekalan momentum berlaku juga pada fisika relatifistik?
Dari konsep momentum,
p ⃗=m.v ⃗
dengan m adalah massa relativistik. Jika benda sedang bergerak dengan v → c, maka momentunya disebut momentum relativistik.
m_v=k.m_o , dimana k= 1/√(1- □(v^2/c^2 ))
Jadi, p= [m_o/√(1- v^2/c^2 )].v
Dengan demikian, momentum relativistik suatu partikel dapat didefinisikan sebagai perkalian antara massa relativistik dengan kecepatan partikel.
Jelas bahwa untuk mendefinisikan momentum relativistik ada 2 (dua) hal yang perlu diingat, yaitu:
Momentum relativistik harus mendekati nilai mov ketika kecepatan benda kecil dibandingkan c.
Momentum relativistik harus memenuhi hukum kekekalan momentum ketika diterapkan pada proses tumbukan relativistik (tumbukan dengan kecepatan tinggi).
Dari Hukum Newton II : a ⃗= (ΣF/m) ⃗ atau (ΣF) ⃗= (Δp) ⃗/Δt
Untuk kecepatan v → c, maka
F = Δp/Δt= dp/dt= (d (mv))/dt= (d (k.m_o v))/dt
F = d[(m_o v)/√(1- v^2/c^2 )]/dt

Contoh soal:
Sebuah elektron dengan massa diam 9,1 x 10-31 kg bergerak dengan kecepatan 0,8 c. hitung momentum relativistiknya dan bandingkan dengan momentum klasiknya!
Penyelesaian:
Momentum relativistik dicari dengan persamaan p= [m_o/√(1- v^2/c^2 )].v sedangkan momentum klasik dicari dengan persamaan p_o= m_o u.
Diketahui :
mo = 9,1 x 10-31 kg
v = 0,8 c = 0,8 . 3 x 108 = 2,4 x 108 m/s
Ditanya:
p? po?
Jawab:
p= [m_o/√(1- v^2/c^2 )].v
p= (9,1 × 〖10〗^(-31). 2,4 × 〖10〗^8)/√(1- ((〖0,8〗^2 c^2)/c^2 ) )= (9,1 × 〖10〗^(-31) . 2,4 × 〖10〗^8 )/0,6
p=3,64 × 〖10〗^(-22) kg.m/s
〖 p〗_o=m_o v=9,1 × 〖10〗^(-31) . 2,4 × 〖10〗^8=2,184 × 〖10〗^(-22) kg.m/s

Hitunglah momentum elektron 1 MeV.
Penyelesaian:
E^2= 〖(pc)〗^2+ E_o^2
〖(1 Mev+0,511 MeV)〗^2= 〖(pc)〗^2+ 〖(0,511 MeV)〗^2
p=1,42 Mev/c
Hitunglah momentum sebuah elektron yang kecepatannya 0,8c.
Penyelesaian:
p=mv
p= (m_o c^2)/√(1- (v^2/c^2 ) ) (v/c^2 )= (0,511 MeV)/√(1- 〖(0,8)〗^2 ) (v/c)=0,681 MeV/c

Energi Relativistik
Hubungan yang paling terkenal yang diperoleh Einstein dari postulat relativitas khusus adalah mengenai massa dan energi. Hubungan ini dapata diturunkan secara langsung dari definisi energi kinetik EK dari suatu benda yang bergerak sebagai kerja yang diperlukan untuk membawa benda itu dari keadaan diam hingga mempunyai kecepatan v.
Menurut Fisika Newtonian (Fisika klasik),

 

Usaha oleh F pada benda bermassa m adalah
W= ∫_(x_1)^(x_2)▒〖F.dx〗 , jika pada x_1→diam berarti v_1=0
Oleh karena itu, 〖EK〗_1= 1/2 mv_1^2=0 dan 〖EK〗_2= 1/2 mv_2^2
Jadi, ΔEK= ∫_0^s▒〖F ds〗
ΔEK= ∫▒[d((m_o v)/√(1- v^2/c^2 ))/dt] ds
ΔEK= ∫▒〖d [(m_o v)/√(1- v^2/c^2 )] 〗 ds/dt
〖EK〗_2- 〖EK〗_1= ∫▒〖d [(m_o v)/√(1- v^2/c^2 )] 〗 ds/dt (*)
karena v_1=0, maka 〖EK〗_1=0
EK= ∫▒〖d [(m_o v)/√(1- v^2/c^2 )] 〗 v
EK= ∫_0^mv▒〖v .d(mv) 〗 , dengan p=mv
EK= ∫_0^p▒〖v dp〗

misalkan:
u=v dan dv=dp
EK= ∫▒〖v dp〗
EK=pv- ∫▒〖p dv〗
EK= ((m_o v)/√(1- v^2/c^2 )) v – ∫▒[(m_o v)/√(1- v^2/c^2 )] dv (**)

misalkan:
x=1- v^2/c^2
dx/dv=0- 1/c^2 2v
dx= ((-2v)/c^2 ) dv
( 〖-c〗^2)/2v dx=dv

sehingga,
EK= ∫▒〖p dv〗
EK= ∫▒((m_o v)/√(1- v^2/c^2 )) dv
EK= ∫▒(m_o v)/√(1- v^2/c^2 ) 〖-c〗^2/2v dx
EK= ∫▒〖(m_o v)/x^(1/2) 〖-c〗^2/2〗 dx
EK= (〖-m〗_o c^2)/2 ∫▒x^((-1)/2) dx
EK= (-1)/2 m_o c^2 ∫▒〖x^((-1)/2) dx〗
EK= (-1)/2 m_o c^2 |〖2x〗^(1/2) | ■(v@0)
EK= (-1)/2 m_o c^2 |2√(1- v^2/c^2 )| ■(v@@0)
EK= (-1)/2 m_o c^2 (√(1- v^2/c^2 )- 2) (***)
Kembali lagi ke persamaan (**), kemudian substitusikan persamaan (***) ke (**),
EK= ((m_o v)/√(1- v^2/c^2 )) v- ∫_0^v▒((m_o v)/√(1- v^2/c^2 )) dv
EK= (m_o v^2)/√(1- v^2/c^2 )+ 1/2 m_o c^2 (2√(1- v^2/c^2 )- 2)
EK= (m_o v^2)/√(1- v^2/c^2 )+ m_o c^2 √(1- v^2/c^2 )- m_o c^2
EK= (m_o v^2)/√(1- v^2/c^2 )+ (mc^2 √(1- v^2/c^2 )) (√(1- v^2/c^2 ))- m_o c^2
EK=mv^2+ mc^2 (1- v^2/c^2 )- m_o c^2
EK=mv^2+ mc^2- mv^2- m_o c^2
EK=mc^2- m_o c^2
EK=E- E_o (****)
dengan E=energi total ; E_o=energi diam ;EK=energi kinetik
Persamaan (****) ini sudah dikonfirmasi melalui eksperimen dalam sebuah akselerator (pemercepat partikel energi tinggi). Pada kecepatan rendah yaitu ketika v/c ≪≪1, persamaan tersebut menjadi EK= 1/2 mv^2.
Selain itu, hasil dari persamaam (****) menunjukkan bahwa energi kinetik suatu benda sama dengan pertambahan massanya sebagai akibat gerak relatifnya dikalikan dengan kuadrat kelajuan cahaya. Massa dan energi bukan merupakan besaran yang bebas/lepas, maka hukum kekekalan massa dan energi sebenarnya satu, yaitu hukum kekekalan massa-energi. Massa dapat diciptakan atau dapat dimusnahkan, tetapi jika hal itu terjadi maka sejumlah energi yang setara akan hilang atau energi yang stara akan muncul. Sebaliknya, jika massa tidak diciptakan atau dimusnahkan maka tidak ada energi yang stara akan hilang/muncul.
Oleh karena itu,
〖 EK〗_(total awal)= 〖EK〗_(total akhir)
E=EK+ E_o
mc^2=EK+ m_o c^2
Partikel Tak Bermassa
Partikel akan memiliki massa diam hanya bila partikel itu bergerak dengan kelajuan cahaya.
Adakah partikel yang tidak bermassa? atau Adakah partikel yang massa diamnya nol m_o=0 ?
Dalam mekanika klasik, suatu partikel harus mempunyai massa diam agar dapat memiliki energi dan momentum, tetapi dalam mekanika relativistik persyaratan seperti itu tidak berlaku.
Dari persamaan energi total,
E=mc^2
E= (m_o c^2)/√(1- v^2/c^2 )
Jika m_o=0 dan v≪≪c (v/c →0), jadi E=0 dan p=0
Dari persamaan momentum relativistik,
p=mv
p= (m_o v)/√(1- v^2/c^2 )
Jika m_(o )=0 dimana v→c, maka E dan p dapat memiliki nilai berapa saja sebab
(E= 0/0=tak tertentu banyaknya ;p=0/0=tak tertentu banyaknya)
Jadi, partikel tak bermassa dapat memiliki energi dan momentum, asal saja dalam keadaan diam atau bergerak dengan kelajuan/kecepatan cahaya.
Berapa energi (E) atau momentum (p) untuk partikel yang tak bermassa?

Strategi :
Kuadratkan E dan p
E^2=m^2 c^4= (m_o^2 c^4)/((1- v^2/c^2 ) )

p^2= m^2 v^2= (m_o^2 v^2)/((1- v^2/c^2 ) )

Kalikan p^2 dengan c^2
p^2 c^2= (m_o^2 v^2 c^2)/((1- v^2/c^2 ) )

Kurangi hasil E^2 dengan p^2 c^2

E^2- p^2 c^2= (m_o^2 c^4)/((1- v^2/c^2 ) )- (m_o^2 v^2 c^2)/((1- v^2/c^2 ) )

〖 E〗^2- p^2 c^2= m_o^2 c^4

〖 E〗^2= p^2 c^2+ m_o^2 c^4

E= √(p^2 c^2+ m_o^2 c^4 )
E= √(c^2 (p^2+ m_o^2 c^2 ) )
E=c √(p^2+ m_o^2 c^2 ) ,dengan m_o=0

E=c √(p^2+ 0)

E=p c
Jadi, sangat dimungkinkan adanya partikel tak bermassa asal saja kecepatannya sama atau mendekati kecepatan cahaya. Nyatanya, ada dua jenis partikel tak bermassa yang telah dikemukakan foton dan neutrino dan perilaku partikel itu tidak menyimpang dari yang diharapkan. Jelaslah, jika ada partikel dengan mo = 0, maka hubungan antara energi dan momentumnya harus diberikan dengan E=p c.
Catatan :
Bukti Eksperimen Relativitas Einstein
Teori relativitas Einstein telah mengalami berbagai ujian melalui berbagai eksperimen. Dan hasilnya sangat sukses.
Misalnya pada momentum relativitas. Eksperimen yang dilakukan pada elektron-elektron yang dipercepat mendekati kecepatan cahaya, menunjukkan bahwa momentum elektron tidak sama dengan moc (mo adalah massa diam elektron). Menurut hasil eksperimen, rumus yang tepat adalah rumus momentum relativitas.
Contoh soal :
Suatu elektron mempunyai kecepatan 0,8c. tentukan nergi total dan energi kinetiknya. Massa elektron 0,511 MeV/c2 (= 9,1 x 10-31 kg, silahkan buktikan!)
Penyelesaian:
Energi diam elektron:
〖 E〗_o= m_o c^2=0,511MeV/c^2 .c^2=0,511 MeV
Energi elektron:
E= (m_o c^2)/√(1- v^2/c^2 )= 1/√(1- v^2/c^2 ) 0,511 MeV/c^2 .c^2=0,852 MeV
Energi kinetik elektron:
EK=E-E_o=0,852-0,511=0,341 MeV
Catatan: 1 MeV = 106 eV = 1,6 x 10-31 J

Di Laboratorium Fisika partikel di Fermilab, proton diberi energi kinetik sampai 1,6 x 10-7 J. Berapa selisih kecepatan proton ini dengan kecepatan cahaya? Massa proton 1,67 x 10-27 kg.
Penyelesaian:
Diketahui:
mo = 1,67 x 10-27 kg
EK = 1,6 x 10-7 J
Ditanya:
c – v ?

Jawab:

〖 E〗_o= m_o c^2=1,67 × 〖10〗^(-27) (3 × 〖10〗^8 )2 = 1,5 x 10-10 J

EK=E- E_o
EK+ E_o=E
EK+ E_o= E_o/√(1- v^2/c^2 )
√(1- v^2/c^2 )= E_o/〖EK+E〗_o

1- v^2/c^2 = (E_o/(EK+ E_o )) ■(2@)
v^2/c^2 =1- (E_o/(EK+ E_o )) ■(2@)
〖 v〗^2= c^2 [1- (E_o/(EK+ E_o )) ■(2@)]
v=c √([1- (E_o/(EK+ E_o )) ■(2@)] )
c-v=c-c √([1- (E_o/(EK+ E_o )) ■(2@)] )
c-v=c (1- √([1- (E_o/(EK+ E_o )) ■(2@)] ))
c-v=c (1- √([1- ((1,5 × 〖10〗^(-10))/(1,6 × 〖10〗^(-7)+ 1,5 × 〖10〗^(-10) )) ■(2@@)] ))
c-v=c (1- √((1-8,8 × 〖10〗^(-7) ) ))
c-v=4,4 ×〖10〗^(-7) c=132,5 m/s

Catatan:
Kadang-kadang untuk menghitung √(1-a) untuk a kecil sekali lebih baik gunakan pendekatan binomial, yaitu √(1-a) ≈1- 1/2 a .

Hitung momentum elektron yang energi kinetiknya 1,6 x 10-13 J! Massa elektron 9,1 x 10-31 kg.
Penyelesaian: kita dapat menghitung dulu kecepatan elektron dengan rumus,
EK= (1/√(1 – v^2/c^2 ) -1) m_o c^2
Setelah itu gunakan rumus, p = m v untuk menghitung momentum elektron.
Cara lain adalah sebagai berikut:
E^2=p^2 c^2+ E_o^2

〖 p〗^2 c^2= E^2- E_o^2

〖 p〗^2= (E^2- E_o^2)/c^2

p= √(((E_o+ EK) ■(2@)- E_o^2)/c^2 )

p= √(((m_o c^2+ EK) ■(2@)- m_o^2 c^4)/c^2 )

p=√((9,1 × 〖10〗^(-31) c +1,6 ×〖10〗^(-13)/c ) ■(2@))- (9,1 × 〖10〗^(-31) c) ■(2@)

p= √((8,06 × 〖10〗^(-22) ) ■(2@)- (2,73 × 〖10〗^(-22) ) ■(2@))

p= 〖10〗^(-22) √57,51=7,59 × 〖10〗^(-22) kg.m/s

Sebuah partikel dengan massa diam mo bergerak dengan kecepatan 0,8c dan bertumbukan elastis sempurna dengan partikel lain bermassa diam 3 mo yang berada dalam keadaan diam. Berapakah massa diam gabungan kedua massa tersebut?
Penyelesaian:
Dari persamaan,
p_akhir=p_awal
(M_o u_f)/√(1- ((u_f^2)/c^2 ) )= (m_o u_i)/√(1- ((u_i^2)/c^2 ) )= (m_o (0,8c))/√(1- 〖(0,8)〗^2 )= 4/3 m_o c
Dari persamaan,
E_akhir=E_awal
(M_o c^2)/√(1- ((u_f^2)/c^2 ) ) = (m_o c^2)/√(1- ((u_i^2)/c^2 ) )+ 3m_o c^2= (m_o c^2)/√(1- 〖(0,8)〗^2 )+ 3m_o c^2 =4,67 m_o c^2
dengan menyelesaikan kedua persamaan tersebut, maka akan diperoleh u_f=0,286c dan M_o=4,47 m_o

Hitunglah kecepatan sebuah elektron yang energi kinetiknya 2 MeV.
Penyelesaian:
EK= (m_o c^2)/√(1- (v^2/c^2 ) )- m_o c^2
2 MeV= (0,511 MeV)/√(1- (v^2/c^2 ) )- 0,511 MeV
v=0,98 c

About these ads

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s